Áreas de Investigación en Matemática

El Análisis Funcional surge a principios del siglo veinte, a partir de los trabajos de Fredholm, Hilbert, Banach y otros, para formalizar las nuevas técnicas geométricas en el  estudio de ecuaciones diferenciales. Posteriormente, estos desarrollos fueron retomados por M. Stone y J. von Neumann en los primeros intentos de axiomatización de la mecánica cuántica. Desde entonces, esta rama del Análisis Matemático encontró fructíferas aplicaciones en campos tan disímiles como representaciones de grupos, teoría cuántica de campos, análisis de señales, ecuaciones en derivadas parciales, geometría clásica y geometría no conmutativa, entre otros. Actualmente es un fecundo campo de investigación en los principales centros de investigación del mundo.


Líneas de Investigación:

 

1. Álgebras de Operadores

  • Geometría y Topología en Álgebras de Operadores.
  • Estados y densidades en Álgebras de operadores.
  • Clasificación de Álgebras de von Neumann finitas y aplicación a la teoría ergódica y a la teoría de grupos.

 

2. Teoría de Operadores y Aplicaciones.

  • Métricas y Operadores Positivos.
  • Splines abstractos, marcos.

 

3. Geometría Diferencial en Dimensión Infinita.

  • Métricas Riemannianas y de Finsler en espacios de operadores.
  • Grassmannianas e Isometrías en dimensión infinita.
  • Problemas métricos y de convexidad en variedades de Finsler modeladas por espacios de Banach.

 

Asignaturas Principales vinculadas con el área de investigación:

  • Cálculo I
  • Cálculo II
  • Álgebra I
  • Geometría I
  • Ecuaciones Diferenciales
  • Cálculo en Varias Variables
  • Probabilidad y Estadística
  • Álgebra Lineal
  • Introducción a la Matemática


Asignaturas Alternativas:

  • Matemática General
  • Matemática Aplicada

 

Área VI

Las aplicaciones actuales de la matemática son tan variadas como insoslayables. Dentro de toda una multitud de disciplinas que van desde la física a la ingeniería, desde la biología a las finanzas, la matemática presta un servicio como herramienta o lenguaje capaz de definir modelos por medio de ecuaciones algebraicas o diferenciales ya sean éstas determinísticas o estocásticas. Potencialmente estos modelos se destacan de los meramente descriptivos por su capacidad de producir datos cuantitativos precisos lo que les permite ser contrastados rigurosamente, y una vez establecidos, ser utilizados como herramientas de predicción. La intervención concreta de la matemática aplicada dentro de este proceso se localiza en la etapa propiamente de modelización, o en estadíos ulteriores que involucran la búsqueda de técnicas que permitan resolver de modo eficiente las ecuaciones que aparecen en los diversos modelos. En efecto, rara vez se conocen soluciones explícitas para dichas ecuaciones y se deben entonces desarrollar técnicas para aproximar las soluciones exactas así como para evaluar la calidad de dichas aproximaciones. También juega la matemática aplicada un rol importante en una multitud de instancias, como ser en el manejo racional de los datos generados por los modelos o por los experimentos, o en el estudio analítico de las ecuaciones propuestas en dichos modelos, etc. Esta Área de Investigación está fuertemente ligada a la de Sistemas Complejos.

 

Líneas de Investigación:

 

  1. Análisis Numérico
  • Aproximación numérica de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales y ordinarias. Elementos finitos y diferencias finitas.
  • Teoría de interpolación y aproximación en espacios de Sobolev.
  • Métodos adaptativos y refinamiento de mallas para problemas de singularidades.
  • Complejidad de algoritmos

 

  1. 2.      Ecuaciones diferenciales
  • Comportamiento asintótico de soluciones.
  • Desigualdades y ecuaciones diferenciales.
  • Aplicaciones de ecuaciones diferenciales.
  • Autovalores de operadores elípticos.
  • Sistemas de ecuaciones diferenciales algebraicas y ordinarias con herramientas de álgebra conmutativa.

 

  1. 3.      Ecuaciones dispersivas
  • Soluciones especiales, solitones, ondas viajeras.
  • Scattering.
  • Métodos espectrales

 

  1. 4.      Modelado y simulación de sistemas
  • Modelado y simulación de sistemas discretos y continuos.
  • Modelado y simulación de procesos.
  • Aplicaciones a la Mecánica de Fluidos. Sistemas inertes y reactivos.  Desarrollo de inestabilidades.
  • Análisis y diseño de simulaciones experimentales.

 

  1. 5.      Análisis Matricial
  • Desigualdades de matrices y normas invariantes.
  • Espacios homogéneos en el álgebra de las matrices. Curvas de longitud mínima y problemas de aproximación de operadores.

 

  1. 6.      Probabilidad y Estadística
  • Análisis multivariado
  • Series de tiempo.
  • Probabilidad y estadística aplicadas a la dinámica de poblaciones  biológicas.
  • Técnicas probabilísticas en optimización: división justa y búsqueda estocástica.

 

  1. 7.      Álgebra no conmutativa
  • Clasificación de Álgebras de Hopf
  • Ecuación de Yang Baxter
  • Aplicaciones a la física

Asignaturas Principales vinculadas con el área de investigación:

  • Cálculo I
  • Cálculo II
  • Álgebra I
  • Geometría I
  • Ecuaciones Diferenciales
  • Cálculo en Varias Variables
  • Probabilidad y Estadística
  • Álgebra Lineal
  • Introducción a la Matemática


Asignaturas Alternativas:

  • Matemática General
  • Matemática Aplicada